[초급] dB graph 읽기

회로설계에서 많이 사용되는 graph 중 하나가 dB graph 입니다.  dB graph는 power값에 상용로그인 log를 씌운 다음에 10을 곱한 값입니다. 즉, 10* log₁₀ (Power). 하지만 회로에서는 주로 전압을 사용하기 때문에 20을 곱한 값을 사용합니다. 즉, 20* log₁₀ (Voltage)

dB graph를 사용하는 이유는 자연계의 현상들이 주로 log scale을 따라 linear하게 변하기 때문입니다. 회로의 경우도 이 현상이 나타납니다. 예를 들면, 증폭기와 PLL의 주파수 응답이 log scale을 따라가는 대표적인 현상입니다. 그리고 log scale을 사용하면 일반수의 곱셈이 log에서는 덧셈으로 표현이 되기 때문에 커다란 수를 다룰 경우 사용이 편리합니다. 하지만, log scale을 사용하는 dB graph를 읽을 때 헷갈리는 경우가 많습니다.

예를들어, 회로의 일반적인 주파수 응답의 경우, 아래 그래프와 같은 형태의 dB 그래프를 사용합니다.  주파수를 X축에 log scale로, 증폭기 이득을 Y축에 dB scale로 표현합니다.  재미있는 것은 회로의 pole이 나타나는 지점 (W1 이라 하겠습니다.) 에서 slope이 -20dB/decade (혹은 -6dB/octave) 로 변화합니다. 이 경우, 주파수가 W1에서 W2로 변화할 때 (W1 < W2), Y축에서는 얼마만큼의 dB 변화가 있을까요? 간단한 일차함수의 기울기를 이용하면 될 것 같은데 약간 헷갈립니다.

먼저 -20dB/decade라는 의미를 이해해 봅시다. 여기서, decade는 “10” (열배) 이라는 의미입니다. -20dB/decade라는 의미는 10배 커질때 마다 20 dB 씩 줄어든다는 말입니다. 예를 들어, 주파수 10MHz 에서 이득값이 60dB 라면, 주파수100MHz 에서 이득값은 60dB에서 20dB가 줄어든 40dB 가 됩니다. 그렇다면, 20dB 만큼 줄어든다는 의미는 무슨 의미 일까요? -20dB를 일반수로 환산해 보면,  20*log₁₀X= -20 (dB) 에서 X= 10^-1 = 0.1 가 됩니다. 즉, 원래값의 1/10 배 (10%) 가  최종값이 됩니다.  60dB=1000 이고 40dB=100 인 것을 생각하면 쉽게 이해가 되겠죠? 1000 의 1/10 배(10%) 인 100이 40dB 값이 되는거죠. 주의해야 할 것은 1/10 만큼 줄어드는 것이 아니라 1/10 배로 나타난다는 겁니다. 만약, 40dB 만큼 줄었다고 한다면 어떻게 되는 걸까요? 맞습니다. 1/10 이 두번 일어나기 때문에 원래값이1/100배 (1%) 가 되는 겁니다. 반대로 생각해 볼까요? 20dB 증가했다고 하면 어떻게 되는걸까요? 그렇습니다. 10배가 되는 겁니다. 40dB 증가했다고 한다면요? 그렇죠.  100배가 되는 겁니다. 아주 쉽죠?

이번에는 -20dB/decade와 동일한 기울기인 -6dB/octave 을 볼까요. 여기서 octave라는 의미는 “8” 이 아니라 “2” 임을 기억하시기 바랍니다. 원래 octane이라는 말이 “8” 을 의미하지만 octave는 피아노 건반의 octave에서 온 말로 “2” (두배) 을 의미합니다. 따라서, -6dB/octave라는 말은 X축이 (여기서도 주파수라 하겠습니다.) 2배 커질때마다 6dB씩 줄어든다는 말입니다. 예를 들어서 주파수가 10MHz 에서 20MHz 가 되면 10MHz에서의 이득값이 20MHz 에서 6dB 만큼 줄어든다는 의미입니다.  6dB 만큼 줄어든다는 의미는 dB scale 이 아닌 원래값으로 환산하면, 20*log₁₀X= -6 (dB) 에서 X= 10^-6/20 = 0.5 가 됩니다. 즉, 10MHz 값의 1/2 (절반)가 20MHz에서 나타나게 됩니다. 다시말하면, 6dB 감소했다는 말은 원래값이 절반이 되었다는 말입니다. 그렇다면 12dB 만큼 줄어든다는 (즉 -12dB)것은 무슨 의미일까요. 맞습니다. 절반이 두 번 일어나서 1/2 * 1/2 = 1/4가 되었다는 말입니다. 즉 원래 값이 두 번 반토막이 나서 원래 값에 1/4 값이 되었다는 말입니다. W1에서 20*log을 씌우기 전 원래값이 32 였다면 W2에서는 두번 반토막이 난 8 된다는 말입니다. 자 그렇다면 +6dB는 무슨 의미일까요? 그렇습니다. 두배가 된다는 의미 입니다.  계산해 보면, 20*log₁₀X= +6 (dB) 에서 X= 10^+6/20 = 2 가 되지요. +12dB는요? 네, 4배가 되었다는 의미 입니다.

따라서, dB 그래프를 읽을 때는 “20dB는 10배, 6dB는 2배” 그리고, “-20dB는 10%, -6dB는 절반”을 기억하고 있어야 합니다. 특히, dB scale에서 +/-6dB는 중요한 값으로 기억하고 있어야 합니다. -6dB 만큼 변했다는 말은 원래값이 반토막이 났다는 의미이고 +6dB 만큼 변했다는 말은 원래값이 두배가 되었다는 말이 되기 때문입니다. 이것을 기억하고 있다면 dB graph를 볼때 직관적으로 graph를 읽어낼 수 있게 됩니다. 먼저, 기준 주파수 (W1) 을 정하고 그 주파수에서 다른 주파수 (W2) 로 변화할때 dB 값이 얼만큼 변화했는지 대충 눈으로 가름해 봅니다. 그 변화량이 예를들어, ∆ dB 라면, 재빨리 6 으로 나누어서 그 값이 + 이면 2의 제곱승으로 계산하고 – 면 1/2의 제곱승으로 계산하여 원래값의 변화를 쉽게 알아낼 수 있습니다. 연습해볼까요?

변화량이 +30dB 라면 30/6=5. 즉, 2⁵= 32배가 되었다는 의미입니다.
변화량이 -30dB 라면 -30/6=-5. 즉,  2^-5 =1/32배 (반토막이 5번)가 되었다는  의미 입니다.

다시 한번 잘 기억해 두세요.

+20dB는10배, -20dB 는 1/10 배,
+6dB는 2배, -6dB 는 1/2 배

자, 이제 맨 위에서 던졌던 원래 질문, “주파수가 W1에서 W2로 변화할 때 (W1 < W2), Y축에서는 얼마만큼의 dB 변화가 있을까요?”, 으로 돌아가 봅시다. 어떻게 풀면 될까요? SLOPE의 정의를 가지고 계산해 보면 됩니다.  dB graph의 X축 두 지점, W1과 W2 (W1 < W2) 사이의dB의 변화량을 ∆ 라고 하면 SLOPE 정의는 아래와 같습니다.

SLOPE (dB/dec) = ∆dB / (log₁₀W2 – log₁₀W1) = ∆dB / log₁₀ (W2/W1);
∆dB = Slope (dB/dec) * log₁₀(W2/W1);
∆dB = -20 (dB/dec) * log₁₀(W2/W1)

즉, 두 주파수의 값의 비 (W2/W1) 를 계산하고 상용로그 (log₁₀) 를 취한 뒤 slope 값 (-20dB/dec) 을 곱해 주면 dB의 변화량을 찾을 수 있습니다. 아래 예제를 보죠.

예제: PLL의 loop bandwidth가 4.4KHz 이고 이때의 phase noise 가 -105dBc 인 경우 100KHz offset에서의 phase noise는 몇 dBc 인가? (PLL을 one pole 시스템으로 가정한다.)

풀이: PLL이 one pole 시스템이므로 loop bandwidth 4.4KHz 이후 부터는 -20dB/dec로 phase noise가 감소하게 됩니다. 4.4KHz 를 기준으로 100KHz가 되는 지점까지 phase noise가 얼마나 변화가 되는지 계산을 해 보죠. 위의 식대로 계산을 해보면,
∆dB = -20 (dB/dec) * log₁₀(W2/W1) 에서W1=4.4KHz, W2=100KHz가 됩니다.
따라서,  ∆dB = -20 (dB/dec) * log₁₀(100K/4.4K) = -27.13 dBc.
즉, W2 지점에서 dBc는 W1 지점으로 부터 약 27dB 만큼 감소한 지점이 됩니다.
정답: -105dBc – 27dBc = -132 dBc 가 됩니다.